İslam uygarlığının matematiğe dair keşifleri

Matematik tarihinin bu dikkate değer dönemi, cebirde ilk adımları atan Hârizmî'nin çalışmalarıyla başladı. Bu yeni gelişmenin ne kadar mühim olduğunun doğru anlaşılması önemlidir. Zira bu gelişme, Yunanlıların tesis ettikleri geometriye dayanan matematik anlayışından esaslı bir uzaklaşmayı ifade ediyordu. Cebir, rasyonel ve irrasyonel sayılarla geometrik büyüklüklere 'cebirsel nesne' olarak yaklaşılmasına imkân sağlayan birleştirici bir teoriydi. Matematiğe yepyeni bir boyut ve gelişme yönü kazandıran cebir, matematiği çok daha geniş bir mefhum haline getirmiş ve bu alanda geleceğe dönük gelişimi mümkün kıldı. Cebirsel fikirlerin hayata geçmesinin diğer bir önemi de matematiğin cebire yepyeni bir biçimde uygulanması olacaktı. Hârizmî'nin cebir meşalesini, 953 yılında doğan halefi Kereci devraldı. Kereci, birçok kişi tarafından cebiri geometrik işlemlerden tamamen bağımsızlaştıran ve bunların yerine bugün cebirin temelini oluşturan aritmetik işlemleri koyan kişi olarak tanınır. x, x², x³, … ve ¹/x, ¹/x², ¹/x³ tek terimli sayılarını ilk kez tanımlayarak bunlardan herhangi ikisinin çarpımına ilişkin kuralları o belirlemiştir. Kurduğu cebir okulu, birkaç yüzyıl boyunca gelişerek hayatını devam ettirecekti. Kereci'den 200 yıl sonra 12'nci yüzyıl bilim insanlarından Semavel, Kereci okulunun önemli üyelerinden biri haline gelmişti. Cebir için '…aritmetiğin, bilinen değerler üzerinde işlem yaptığı gibi, tüm aritmetik araçları kullanarak bilinmeyen değerler üzerinde işlem yapmak' şeklindeki sarih tanımı ilk kez o yapmıştır. Cebirin hikâyesindeki bir sonraki önemli adım 1048 yılında doğan ve bugün şair Hayyam olarak tanınan Ömer Hayyam tarafından atıldı. Hayyam, kübik denklemleri tamamen sınıflandırdı ve konik alanları kesiştirmek suretiyle geometrik çözümler elde etti. Kübik denklemlerin cebirsel çözümünü tamamen açıklamayı umuyor ve şöyle diyordu: 'Allah izin verirse ve muvaffak olursam, bu 14 formun tamamını dalları ve örnekleriyle açıklayacağım ve neyin mümkün olduğunu ortaya koyacağım. Böylece bu sanatta son derece faydalı bir eser ortaya çıkacaktır.' 12'nci yüzyılın ortalarında, Semavel'in Kereci'nin okulunda öğrenci olduğu dönemlerde, Şerafeddin Tûsî cebiri geometriye uyarlayan Hayyam'ın izinden gitmekteydi. Kübik denklemler hakkında bir eser yazan Tûsî bu eserde cebirin '….denkleri kullanarak eğrileri incelemeyi amaçlayan başka bir alana önemli katkılarda bulunduğunu' söyleyerek cebirsel geometri alanını başlatmıştır. Cebir, Müslüman matematikçilerin gelişimini önemli ölçüde değiştirdikleri alanlardan yalnızca bir tanesidir. 9'uncu yüzyılda, Bağdat'ta ve Dârülhikme'de Benu Musa Kardeşler olarak tanınan üç kardeş bulunuyordu. Çok yetenekli matematikçiler olan Benu Musa Kardeşler'in öğrencileri arasında 836 yılında doğan Sabit bin Kurra'da yer alıyordu. En çok sayı teorisine yaptığı katkılarla tanınan Sabit, bağdaşık sayı çiftlerinin bulunmasına imkân sağlayan güzel teoremi keşfetti. Bağdaşık sayı çifti, her biri diğerinin kalansız toplamına eşit olan iki sayıyı ifade eden bir terimdir. Bağdaşık sayılar Arap matematiğinde önemli bir rol oynamaktaydı; 13'üncü yüzyılda Sabit bin Kurra'nın teoremine ilişkin yeni deliller sunan Farisi, çarpanlara ayırma ve katışımsal yöntemler hakkında önemli fikirler ortaya attı. Ayrıca İsviçreli 18'inci yüzyıl matematikçisi Euler'e izafe edilen, 17,296 ve 18,416 bağdaşık sayı çiftini buldu. Ve Euler'den uzun yıllar önce, diğer bir Müslüman matematikçi olan Muhammed Bakır Yezdi 17'nci yüzyılda 9,363,584 ve 9,437,056 bağdaşık sayı çiftini bulmuştur. İbnü'l Heysem'in tarihte ilk kez tüm çift mükemmel sayıları (tam bölenlerinin toplamına denk olan sayılar) sınıflandırma girişiminde bulunmasıyla Müslüman matematikçiler 10'uncu yüzyılda başka bir alanda daha büyük başarı elde etmiş oldular; '2ᵏ-1'in asal sayı olduğu durumlarda 2ᵏ-1 formunda olan sayılar' biçimindeki sınıflandırma gibi. Heysem aynı zamanda 'p asalsa 1+(p-1)! p'ye bölünebilir' şeklindeki Wilson teorimini dile getirdiği bilinen ilk kişidir, ancak bu sonucun nasıl ispatlanacağını bilip bilmediği çok net değildir. Bu teoreme, çalışmalarını 1770'lerde Cambridge'de yapan matematikçi John Wilson tarafından 'keşfedilmesi' sebebiyle Wilson teoremi denmektedir; ancak Wilson teoremi ispatlamış mıdır yoksa sadece tahmin mi etmiştir, bilinmemektedir. Wilson'dan tam bir yıl sonra, Lagrange adında bir matematikçi, 'ilk kez keşfedilmesinden' 700 yüzyıl sonra teoremin ilk ispatını bulmuştur. Matematiğe hayatın her alanında ihtiyaç duyuluyor, özellikle sayma sistemleri büyük önem taşıyordu. Bugün birçoğumuz sıfırla başlayıp trilyonlara kadar uzanan tek bir sayma sisteminden haberdarız. Ancak 10'uncu yüzyılda Müslüman ülkelerde üç farklı tip aritmetik kullanılıyordu ve yüzyılın sonuna gelindiğinde, Bağdadi gibi müellifler bu sayma sistemlerini karşılaştıran yazılar kaleme almaktaydılar. Bu üç sistem parmak hesabı aritmetiği, altmışlı sistem ve Arap sayısal sistemiydi. Parmak hesabı aritmetiği, yazıyla yazılan rakamların parmakla sayılması esasına dayalı olup ticaret çevrelerinde kullanılıyordu. 10'uncu yüzyılda Bağdat'ta yaşayan Ebü'l Vefâ gibi matematikçiler bu sistemi kullanarak birkaç eser yazmıştır. Arap sayılarının kullanımında hakiki bir uzman olan Ebü'l Vefâ '…bu sayıların ticaret çevrelerinde ve Doğu Halifeliği'nde uzun süre uygulama alanı bulamadığından' bahseder. Altmışlı sistemde Arap alfabesindeki harflerle ilişkilendirilmiş sayılar bulunuyordu. Babil kökenli olan bu sistem Arap matematikçiler tarafından astronomi çalışmalarında sıklıkla kullanılmaktaydı. Arap sayılarının ve kesirlerinin ondalık yer-değer sistemine sahip aritmetik altyapısı Hint sistemi geliştirilerek elde edilmiştir. Müslümanlar Hint sayılarını bugün kullanılan 1 ila 9 arasındaki modern sayılara uyarladılar. Arap sayıları olarak da bilinen bu sayıların her bir sayının yazılışında kullanılan açı sayısından ortaya çıktığına inanılır, ancak 7 sayısı bu teoriye ters düşmektedir, zira 7 sayısının ortasına çizilen yatay çizgi 19'uncu yüzyılda ortaya çıkmıştır. Bu sayılar bugün Avrupa ve Kuzey Afrika'da kullanılırken, daha farklı olan Hint sayıları İslam dünyasının doğusuna düşen bazı bölgelerde kullanılmaya devam etmektedir. Mesela 1 sayısında bir açı, 2 sayısında iki açı, 3 sayısında üç açı vardı vs. Bu sayıların kullanılmaya başlamasıyla birlikte, o zaman kullanılan Latin sayılarında yaşanan bazı problemlerin de önüne geçilmiş oldu. Arap sayılarına, Müslümanların matematik hesaplamalarında abaküs yerine toz (gubar) tahtası kullanması sebebiyle 'gubari' sayıları deniyordu. Müslüman matematikçiler tarafından Hint sisteminde yapılan en önemli iyileştirme sıfırın daha geniş bir şekilde tanımlanması ve kullanılmasıdır. Müslümanlar sıfıra herhangi bir sayının onunla çarpımının sonucunun yine sıfır olduğu matematiksel bir özellik verdiler. Bunun öncesinde sıfıra bir boşluk yahut da 'hiçlik' muamelesi yapılıyordu. Müslümanlar sıfırı, sayıları ondalık sisteme çevirmek için de kullandılar ve böylece mesela 23 yazıldığında bunun 230 mu, 23 mü yoksa 2300 mü olduğunu bilmek mümkün hale geldi. Sıfırı bir altıgenin içerisine yerleştirmemiz durumunda, dairenin çapının altıgenin kenarına oranının 'altın oran'a denk gelmesi son derece ilginçtir. Müslüman bilim insanları, 0 ve 1 gibi bazı rakamların önemine ve Esma'ül Hüsna'dan 'öncesi ve sonrası olmayan' anlamındaki isimle olan ilişkisine ayrı bir önem izafe ettiler. Bugün bilgisayarlarda yalnızca 0 ve 1 rakamlarının kullanılması bu açıdan düşünüldüğünde oldukça ilginçtir. Arap sayıları Avrupa'ya üç kaynaktan gelmiştir: 10'uncu yüzyılın sonlarında Kurtuba'da eğitim gördükten sonra Roma'ya dönen Gerbert (Papa Sylvester I)'den; Hârizmî'nin (ikinci gubarî Arap sayılarını içeren) ikinci kitabından; 12'nci yüzyılda kitabı tercüme eden Chesterli Robert'den. Arap sayılarının Avrupa'ya gelirken izlediği bu güzergâhtan Sayı Sözcükleri ve Sayı Simgeleri adlı eserinde dönem tarihçisi Karl Menniger ve ayrıca 13'üncü yüzyılda bu sayıları öğrenerek Avrupalı kitlelere ulaştıran Fibonacci bahsetmektedir. Fibonacci bu sayıları, Bağdat ve Musul'daki okullarda (cebir ve eşzamanlı denklemler dâhil) matematik dersleri veren Sidi Ömer adlı bir hocadan ders almak üzere babası tarafından gönderildiği Cezayir'in Bougie şehrinde öğrenmiştir. Liber Abaci adlı ünlü Latince eserini yazmadan önce İskenderiye, Kahire ve Şam kütüphanelerini de ziyaret eden Fibonacci, bu eserinin ilk bölümünde Arap sayılarına değiniyordu. Fibonacci, bu yeni sayıları şu şekilde takdim ediyordu: 'Hintlilere ait dokuz sayı şunlardır (soldan sağa): 987654321. Bu sayılarla ve Arapların 'cephirum' (şifre) adını verdiği '0' sayısı kullanılarak arzu edilen her rakam yazılabilmektedir.' Müslüman matematikçilerin sayısal yöntemlerde kaydettiği gelişmelerin çoğu Arap sayılarıyla uygulanan bu hesaplama sistemi sayesinde mümkün olmuştur. Artık Ebü'l Vefâ ve Ömer Hayyam gibi matematikçiler sayesinde, sayıları kök içerisinden çıkarabilmek mümkündü. Kereci'nin üslü sayılara yönelik binom teoremini keşfetmesi, ondalık sisteme dayalı sayısal analizin geliştirilmesinde önemli bir faktör oldu. 14'üncü yüzyılda Kâşî, hem cebirsel sayıların yakınsanmasında, hem de pi sayısı gibi gerçek sayılarda kullanılmak üzere, ondalık kesirlerin geliştirilmesine katkıda bulundu. Ondalık kesirlere o kadar önemli katkılarda bulundu ki yıllar boyunca bu insanlar ondalık kesirlerin mucidi olarak anıldı. Bu alanda ilk olmamakla beraber Kâşî, sayıların …ncı, …nci kökünü hesaplamak için bir algoritma geliştirdi; bu algoritma, yüzyıllar sonra İtalyan ve İngiliz matematikçiler Ruffini ve Horner tarafından bulunan yöntemlerin özellikli bir uygulamasına tekabül ediyordu. Özellikle cebir, sayı teorisi ve sayı sistemleri alanlarında tanınan Arap matematikçilerin geometri, trigonometri ve matematiksel astronomi alanlarında da önemli katkıları oldu.

İslam uygarlığının matematiğe dair keşifleri

CEBİRDE İLK ADIMI HARİZMİ ATTI